UMA vetor no espaço é todo mundo representado por um sistema de coordenadas dado por x, Y Y z. Quase sempre o avião xy é o plano da superfície horizontal e o eixo z representa a altura (ou profundidade).
Os eixos das coordenadas cartesianas mostrados na figura 1 dividem o espaço em 8 regiões chamadas octantes, análogo a como os eixos x - Y divida o plano em 4 quadrantes. Teremos então 1º octante, 2º octante e assim por diante.
A Figura 1 contém uma representação de um vetor v No espaço. É necessária alguma perspectiva para criar a ilusão de três dimensões no plano da tela, o que é conseguido desenhando uma vista oblíqua.
Para representar graficamente um vetor 3D, use as linhas pontilhadas que determinam na grade as coordenadas da projeção ou "sombra" de v Sobre a superfície x-y. Esta projeção começa em O e termina no ponto verde.
Uma vez lá, você deve continuar ao longo da vertical até a altura (ou profundidade) necessária de acordo com o valor de z, até chegar a P. O vetor é desenhado partindo de O e terminando em P, que no exemplo está no 1º octante.
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Os vetores no espaço são amplamente utilizados na mecânica e em outros ramos da física e da engenharia, uma vez que as estruturas que nos cercam exigem geometria em três dimensões..
Os vetores de posição no espaço são usados para posicionar objetos em relação a um ponto de referência chamado fonte O. Portanto, eles também são ferramentas necessárias na navegação, mas isso não é tudo.
As forças que atuam em estruturas como parafusos, suportes, cabos, escoras e muito mais são vetoriais por natureza e orientadas no espaço. Para saber seu efeito, é necessário saber seu endereço (e também seu ponto de aplicação).
E freqüentemente a direção de uma força é conhecida pelo conhecimento de dois pontos no espaço que pertencem à sua linha de ação. Desta forma, a força é:
F = F ou
Onde F é a magnitude ou módulo da força e ou é o vetor unitário (de módulo 1) dirigido ao longo da linha de ação de F.
Antes de prosseguir para a solução de alguns exemplos, revisaremos brevemente a notação vetorial 3D.
No exemplo da Figura 1, o vetor v, cujo ponto de origem coincide com a origem O e cujo final é o ponto P, possui coordenadas x Y z positivo, enquanto a coordenada Y é negativo. Essas coordenadas são: x1, Y1, z1, que são precisamente as coordenadas de P.
Portanto, se temos um vetor vinculado à origem, ou seja, cujo ponto de partida coincide com O, é muito fácil indicar suas coordenadas, que serão as do ponto extremo ou P. Para distinguir entre um ponto e um vetor, usaremos até as últimas letras em negrito e colchetes, assim:
v = < x1, Y1, z1 >
Enquanto o ponto P é denotado com parênteses:
P = (x1, Y1, z1)
Outra representação faz uso de vetores unitários eu, j Y k que definem as três direções do espaço nos eixos x, Y Y z respectivamente.
Esses vetores são perpendiculares entre si e formam um base ortonormal (veja a figura 2). Isso significa que um vetor 3D pode ser escrito em termos deles como:
v = vx eu + vY j + vz k
A Figura 2 também mostra os ângulos do diretor γ1, γdois e γ3 do que vetor v faz respectivamente com os eixos x, Y Y z. Conhecendo esses ângulos e a magnitude do vetor, está completamente determinado. Além disso, os cossenos dos ângulos do diretor atendem à seguinte relação:
(cos γ1)dois + (cos γdois)dois + (cos γ3)dois = 1
Na figura 2, os ângulos γ1, γdois e γ3 do que vetor v da forma do módulo 50 com os eixos de coordenadas são respectivamente: 75,0º, 60,0º e 34,3º. Encontre os componentes cartesianos deste vetor e represente-os em termos dos vetores unitários eu, j Y k.
Projeção vetorial v no eixo x é vx = 50. cos 75º = 12.941. Da mesma forma, a projeção de v no eixo Y é vY = 50 cos 60 º = 25 e finalmente no eixo z é vz = 50. cos 34,3º = 41,3. Agora v pode ser expresso como:
v = 12,9 eu + 25,0 j + 41,3 k
Encontre as tensões em cada um dos cabos que seguram a caçamba na figura que está em equilíbrio, se seu peso é 30 N.
No balde, o diagrama de corpo livre indica que TD (verde) compensa o peso C (amarelo), portanto, TD = W = 30 N.
No nó, o vetor TD é direcionado verticalmente para baixo, então:
TD = 30 (-k) N.
Para estabelecer as tensões restantes, siga estas etapas:
A = (4.5,0,3) (A está no plano da parede x-z)
B = (1,5,0,0) (B está no eixo x)
C = (0, 2,5, 3) (C está no plano da parede e Z)
D = (1,5, 1,5, 0) (D está no plano horizontal x-y)
DÁ = <3; -1.5; 3>
DC = <-1.5; 1; 3>
DB = <0; -1.5 ; 0>
Um vetor unitário é obtido pela expressão: ou = r / r, com r (em negrito) sendo o vetor er (não em negrito) sendo o módulo do referido vetor.
DA = (3dois + (-1,5)dois + 3dois)½ = 4,5; DC = ((-1,5) dois + 1dois + 3dois)½ = 3,5
ouDÁ = <3; -1.5; 3>4,5 = <0.67 ; -0.33 ; 0.67>
ouDC = <-1.5; 1; 3>3,5 = <-0.43; 0.29; 0.86>
ouDB = <0; -1; 0>
ouD = <0; 0; -1>
TDÁ = TDÁ ouDÁ = TDÁ<0.67 ; -0.33 ; 0.67>
TDC = TDC ouDC = TDC <-0.43; 0.29; 0.86>
TDB = TDB ouDB = TDB <0; -1; 0>
TD = 30 <0; 0; -1>
Finalmente, a condição de equilíbrio estático é aplicada ao balde, de modo que a soma vetorial de todas as forças no nó seja zero:
TDÁ + TDC + TDB + TD = 0
Uma vez que as tensões estão no espaço, isso resultará em um sistema de três equações para cada componente (x, e e z) das tensões.
0,67 TDÁ -0,43 TDC + 0 TDB = 0
-0,33 TDÁ + 0,29 TDC - TDB = 0
0,67 TDÁ + 0,86 TDC +0 TDB - 30 = 0
A solução é: TDÁ = 14,9 N; TDÁ = 23,3 N; TDB = 1,82 N
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